日本では、病院にかかるときは、保険証を持って病院や調剤薬局に行き、一部負担金の割合分のお金を払うのが一般的です。

ただ、新しい会社に入ったばかりで、まだ保険証が届いていないときに病院に行かなければならないときもあるかと思います。

もし、健康保険の資格を取得してすぐ病院や調剤薬局に行く必要があることがあらかじめわかっている場合は、資格取得時に年金事務所（協会けんぽの場合）もしくは健康保険組合に資格証明書の発行を依頼するのが一番です。
資格証明書は、保険証と同じ役割を果たすので、資格証明書をもっていけば、一部負担金の部分だけの支払いで済みます。

ただ、資格証明書もないような場合は、いったん全額を自分で支払う必要があります。
その場合は、自分の入っている健康保険の保険者に一部負担金を超えて建て替え払いした部分の償還払い(キャッシュバック)を請求することができます。

もし、病院や調剤薬局がかかりつけであったり、近くであったりした場合は、全額を払った領収書と保険証を病院に見せることで、一部負担金を超えた部分の払い戻しを病院や調剤薬局で受けることもできます。
（個人的にも、この方法は何度か使用したことがあります。ただ、このような場合は、先に病院や調剤薬局に行って相談をした方がよいでしょう。）

新しい保険証がないからと言って、まかり間違っても前の保険証は使わないようにしてください。
前の保険証を使用してしまうと、手続きが複雑になります。

保険証がない場合でも健康保険に加入している場合は最終的には一部負担金だけの負担で済みますので、心配しないようにしてください。